jueves, 27 de noviembre de 2014

El teorema del jurado de Condorcet

Para Condorcet, matemático, filósofo y político francés del siglo XVIII, el objetivo de un buen gobierno es tomar las decisiones que sean mejores para la sociedad. Sea un grupo de n personas que necesitan decidir si una proposición es verdadera o falsa. Por ejemplo, para un jurado si el acusado es culpable o inocente.
Supongamos que cada votante tiene una probabilidad p de acertar la proposición. Se consideran a los votantes competentes si p>0.5. Se desea tomar una decisión por mayoría y que sea correcta. ¿Qué ocurre según sea el valor de p?
$$p > 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es mayor si aumenta el número de votantes. En el límite, cuando n tiende a infinito, la probabilidad de que la decisión sea la correcta tiende a 1. Es mejor tomar la opinión de muchos que de uno. 

¡Cuantos más competentes mejor! 
$$p < 0.5$$ La probabilidad de que la decisión sea correcta es menor si aumenta el número de votantes. En el límite tiende a 0. Es mejor tomar la opinión de uno. 

¡Cuantos más incompetentes peor!

La probabilidad de acertar m o más votantes es: $$f(p)=\sum_{k=m}^{n} \binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$ Se asume que la competencia o incompetencia de cada votante es la misma. Simplificación que no afecta a las conclusiones. Sin embargo, como la gente intercambia opiniones, la independencia de cada votante es un criterio muy fuerte y no muy realista.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar el número de votantes n y la probabilidad de acertar cada votante p 
  • Se puede modificar el porcentaje de votos afirmativos necesarios q para aceptar la propuesta  (para que la mayoría pueda ser cualificada).
  • Se muestran la probabilidad de que se acepte la propuesta f(p) en función de p, el número de votantes necesarios para ello m y la gráfica correspondiente.
Descargar .XLS