sábado, 25 de mayo de 2013

Movimiento armónico simple (III)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de direcciones perpendiculares.

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x=Asen(wt) \wedge y=Bsen(wt+\phi)$$
La resultante será:
$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}cos\phi=sen^2\phi$$
Si están en fase: $$\phi=0 \rightarrow y=\frac{B}{A}x$$ Si están en oposición: $$\phi=180º \rightarrow y=-\frac{B}{A}x$$ Si están en cuadratura: $$\phi=90º \rightarrow \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$$ Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x=Asen(w_1t) \wedge y=Bsen(w_2t+\phi)$$
Al ser las frecuencias diferentes, la diferencia de fase no es constante y la figura se va modificando de modo continuo, pero siempre inscrita en un rectángulo de semilados A y B.
Se obtienen curvas muy variadas según la relación de los periodos de los movimientos componentes y la diferencia de fase inicial (figuras de Lissayous).

lunes, 20 de mayo de 2013

Cuadrados mágicos (II)

 Un cuadrado mágico es una tabla en forma de matriz cuadrada donde las filas, las columnas y las diagonales principales suman el mismo valor y que recibe el nombre de constante mágica.

El cuadrado mágico más famoso es el de Alberto Durero, llamado diabólico, porque la constante mágica se puede obtener combinando 4 celdas de otras muchas formas: las 4 esquinas, las 4 centrales, las 2 centrales de la fila superior e inferior, las 2 centrales de la primera y última columna, cada uno de los subcuadrados en que se divide el cuadrado completo, etc.
Vamos a determinar la constante mágica para los cuadrados mágicos formados por números en progresión aritmética o geométrica.

La suma de los números del cuadrado mágico que están en progresión aritmética de diferencia d es:
$$S=\frac{a_1+a_m}{2}m=\frac{a_1+a_1+(m-1)d}{2}m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}m$$
Si el cuadrado es de tamaño n y su constante mágica es M(n):
$$m=n^2 \wedge S=n \cdot M(n)$$ 
entonces se cumple:
$$n \cdot M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n^2$$
y el valor de la constante mágica para un cuadrado de tamaño n es:
$$M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n$$
De manera análoga, si los números del cuadrado están en progresión geométrica de razón r, se tiene que:
$$M(n)=(a_1^2+r^{n^2-1})^{\frac{n}{2}}$$