jueves, 12 de octubre de 2017

Algoritmo de Gale-Shapley

El llamado The Stable Marriage Problem o 'Problema de las Parejas Estables' fue planteado y resuelto mediante un algoritmo por David Gale y Lloyd Shapley en 1962. Su aplicación más conocida es la asignación de estudiantes de medicina recién graduados a los hospitales correspondientes.

Cada chico ordena a sus posibles compañeras según sus preferencias y viceversa. En el ejemplo de la tabla el VERDE indica si forman pareja y el ROJO si no pueden ser pareja por el rechazo de la chica.
  • Cada chico invita a bailar a su primera opción.
  • Cada chica evalúa las propuestas, escoge la mejor y desecha las demás.
  • Cada chico rechazado invita a bailar a su segunda opción, aunque en ese momento esté con otro.
  • Se itera el proceso hasta que todas las chicas tengan una única invitación.
Todos eligen a su chica preferida, pero como Julia prefiere a Mateo, rechaza a Pedro.
Diego elige a Laura que prefiere seguir con Jorge y rechaza a Diego.
Diego elige a Elena que estaba con Pedro y lo deja porque prefiere a Diego.
Esto obliga a Pedro a elegir a Laura que acepta renunciando a Jorge.
Finalmente Jorge elige a Paula que acepta y las parejas estables son:
(Diego,Elena), (Jorge,Paula), (Mateo,Julia) y (Pedro,Laura).

¡¡¡ Siempre hay un emparejamiento estable!!!

miércoles, 13 de septiembre de 2017

Método de Descartes

Es un método gráfico de resolución de ecuaciones algebraicas de 3º y 4º grado.

Una ecuación de 3º grado: $$az^3+az^2+bz+c=0$$ se convierte mediante el cambio: $$z=x-\frac{a}{3}$$ en una ecuación de 3º grado del tipo: $$x^3+px+q=0 \; (1)$$ Una ecuación de 4º grado: $$az^4+az^3+bz^2+cz+d=0$$ se convierte mediante el cambio: $$z=x-\frac{a}{4}$$ en una ecuación de 4º grado del tipo: $$x^4+px^2+qx+r=0 \; (2)$$ Si r=0, al simplificar se obtiene la ecuación (1) y se elimina la solución x=0. Si se resuelve el sistema formado por la circunferencia y la parábola: $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2, \; y=x^2$$ se obtiene la ecuación (2) si: $$p=1-2b, \; q=-2a, \; r=a^2+b^2-R^2$$ Entonces el centro y el radio de la circunferencia son: $$a=-\frac{q}{2}, \; b=\frac{1-p}{2}, \;R^2=\frac{q^2}{4}+\frac{(1-p)^2}{4}-r$$ y las soluciones de la ecuación (2) son las abscisas de los puntos de intersección de la circunferencia con la parábola.

Modificando los valores de p, q y r mediante los deslizadores, se obtiene el centro y el radio de la circunferencia y las soluciones de la ecuación de forma gráfica.

martes, 20 de junio de 2017

Selectividad ciencias-sociales-Curso 16/17

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 16/17.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

Selectividad ciencias-Curso 16/17

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, de junio y de julio para el bachillerato de ciencias del curso 16/17.

Enunciados y soluciones de junio
Enunciados y soluciones de julio

martes, 6 de junio de 2017

Bancarrota y El Talmud (I)

Los llamados problemas de bancarrota hacen referencia a situaciones de reparto de un bien escaso. Se muestran tres métodos de reparto diferentes. Sea E el total del bien a repartir, que es inferior a la demanda total  D de un conjunto de acreedores. La cantidad recibida y la demanda solicitada por el acreedor i son, respectivamente: $$r_i \wedge d_i$$
  • Regla Igual Ganancia:
  • $$r_i=IG_i(E,d)=\min (d_i,\lambda)$$ siendo 'lambda' la solución de la ecuación: $$\sum_{i=1}^{n}r_i=\sum_{i=1}^{n}\min (d_i,\lambda)=E$$
  • Regla Igual Perdida:
  • $$r_i=IP_i(E,d)=\max (0,d_i-\lambda)$$ siendo 'lambda' la solución de la ecuación: $$\sum_{i=1}^{n}r_i= \sum_{i=1}^{n}\max (0,d_i-\lambda)=E$$
  • Regla del Talmud:
  • Si la cantidad a repartir es menor o igual que la mitad de la demanda: $$E \leq \frac{D}{2}$$ $$r_i=T_i(E,d)=\min (\frac{d_i}{2},\lambda)$$ siendo 'lambda' la solución de la ecuación: $$\sum_{i=1}^{n}r_i=\sum_{i=1}^{n}\min (\frac{d_i}{2},\lambda)=E$$ Si la cantidad a repartir es mayor o igual que la mitad de la demanda: $$E \geq \frac{D}{2}$$ $$r_i=T_i(E,d)=\max (\frac{d_i}{2},d_i-\lambda)$$ siendo 'lambda' la solución de la ecuación: $$\sum_{i=1}^{n}r_i=\sum_{i=1}^{n}\max (\frac{d_i}{2},d_i-\lambda )=E$$
Descargar .XLS
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Con las flechas se pueden modificar las demandas de los acreedores.
  • Con las flechas se obtienen los valores recibidos por cada acreedor.
  • Con la flechas se puede elegir el valor del bien a repartir.
  • Con la flechas se busca el valor de 'lambda' solución de la ecuación.
  • Este valor es el que hace coincidir E con E', siendo E' los repartos que se obtienen para otros valores de 'lambda'.
  • En el modelo del Talmud una línea de valor D/2 muestra qué fórmula se aplica en cada caso.

sábado, 15 de abril de 2017

Fórmulas electorales (III)

Vamos a ver nuevos métodos de reparto, no estrictamente proporcionales, que utilizan una sucesión creciente de divisores: $$d_1< d_2 < d_3 < \ldots d_n$$donde n es el número de escaños a repartir. Los votos obtenidos por cada partido son divididos sucesivamente por esos n divisores. Se asignan escaños a las n mayores cantidades obtenidas.
  • Ley de Hill-Huntington:
  • El matemático americano Edward V, Hutington (174-1952)  y el estadístico del U.S. Census Bureau Joseph A. Hill (1860.1938)  idearon una nueva fórmula de reparto mediante divisores. Utilizar como divisores la media geométrica de dos enteros consecutivos:
    $$G(a,b)=\sqrt{a \cdot b}$$
     Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos: $$q_{i,k}=[\frac{v_i}{\sqrt{k_i\cdot (k_i+1)}}],\; k\neq 0,\; q_{i,0}=v_i\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$
     y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
  • Ley de Dean:
  • James Dean (1776-1849), matemático y profesor de historia natural de la Universidad de Vertmon lo desarrolló en 1832, como alternativa al método de Jefferson, aunque nunca llegó a aplicarse. Utiliza como divisores la media armónica de dos enteros consecutivos:
    $$H(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2 \cdot a \cdot b}{a+b+1}$$ quien la propuso unos años antes aunque con alguna pequeña diferencia.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{\frac{2 \cdot k \cdot (k+1)}{2 \cdot k+1}}],\; k\neq 0,\; q_{i,0}=v_i\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$
    y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.

jueves, 23 de marzo de 2017

Fórmulas electorales (II)

Vamos a ver otros métodos de reparto, no estrictamente proporcionales, que utilizan una sucesión creciente de divisores: $$d_1< d_2 < d_3 < \ldots d_n$$donde n es el número de escaños a repartir. Los votos obtenidos por cada partido son divididos sucesivamente por esos n divisores. Se asignan escaños a las n mayores cantidades obtenidas.
  • Ley D'Hont:
  • Su nombre se debe a Victor D'Hondt (1841-1901), jurista belga que lo propuso en 1878. En realidad este método fue propuesto por Thomas Jefferson (1743-1826), tercer presidente de los Estados Unidos, del que también recibe su nombre, y lo introdujo para el reparto de escaños en los EEUU en 1794.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{k+1}]\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$ y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
  • Ley de Sainte-Laguë:
  • También conocida por el nombre de Ley de Webster. Aunque introducida por André Sainte-Laguë (1852-1950), matemático francés en 1910, fue Daniel Webster (1782-1852), senador de los EEUU en el siglo XIX, quien la propuso unos años antes aunque con alguna pequeña diferencia.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{2k+1}]\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$ 
    y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.

miércoles, 22 de febrero de 2017

Fórmulas electorales (I)

Una fórmula electoral es el cálculo matemático mediante el cual, después de una votación, se distribuyen los escaños de una asamblea en función de los votos del electorado. Las fórmulas electorales se clasifican en dos grandes tipos: mayoritarias y proporcionales o de reparto.
Las formas mayoritarias pretenden la elección de un único candidato, con exclusión de los demás. El candidato ganador es el que obtiene el mayor número votos en relación con sus rivales electorales. Se suelen aplicar en circunscripciones uninominales. Aunque existen distintas variantes, las más conocidas son:
  • Mayoría absoluta:
  • También conocida como Fórmula de Mayoría, el ganador debe alcanzar más del 50% de los votos. No es una fórmula muy utilizada porque aunque da estabilidad, favorece a los partidos mayoritarios pero perjudica a las minorías que difícilmente obtienen representación. En concreto en Francia se establece un mecanismo corrector: Cuando no se alcanza ese porcentaje, se establece una segunda vuelta o ballotage entre los dos candidatos más votados.
  • Mayoría relativa:
  • Conocida también como Fórmula Pluralista, no exige la obtención de mayorías absolutas, sino de mayorías relativas o simples. El porcentaje para obtener la elección aumenta o disminuye en función del número de partidos o candidatos en liza. Cuanto mayor sea el número de éstos, más bajo será el porcentaje necesario para resultar elegido, y al contrario, cuanto más reducido sea el número de candidatos que se presenten, mayor será el porcentaje requerido.
La fórmulas proporcionales tienen como objetivo repartir los escaños de cada circunscripción de manera proporcional a los votos obtenidos por cada partido. Los métodos del Resto Mayor, también conocidos como de Cociente o Cuota utilizan el sistema proporcional para el reparto de escaños. Para los escaños no asignados se utilizan los restos, a los que se les aplica el sistema mayoritario.

Sean n escaños a repartir entre varios partidos y un total de v votos. Se establece un cociente q que indica el número de votos necesarios para obtener un escaño. De esta forma se asignan escaños a cada partido de acuerdo con sus votos obtenidos. Los escaños no asignados se conceden según los restos de cada partido de mayor a menor. Existen tres fórmulas proporcionales:
  • Fórmula Hare: q=v/n
  • Fórmula Droop: q=v/(n+1)
  • Fórmula Imperiali: q=v/(n+2)

martes, 31 de enero de 2017

Teorema de Viviani

En un triángulo equilátero la suma de las tres distancias de un punto interior a los lados del triángulo es una indepenediente de la posición del punto y que coincide con la altura del tríángulo.

Demostración:

El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d1, d2 y d3, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.